✋ BAIXAR APOSTILA AQUI 👉: LISTA DE EXERCÍCIOS 01 - VOLUME DE SÓLIDOS GEOMETRICOS

 Cálculo de Volume dos Sólidos Geométricos

O Princípio de Cavalieri e o cálculo de volume

O princípio de Cavalieri foi desenvolvido para facilitar o cálculo do volume de sólidos geométricos. Existem alguns sólidos que possuem formas que dificultam o cálculo de seus volumes. Para facilitar essa tarefa, Cavalieri recorreu à comparação de volumes entre sólidos conhecidos. O princípio desenvolvido por esse estudioso diz que, se existem dois sólidos geométricos de mesma altura, ao cortá-los com um plano paralelo à base, em qualquer altura dos sólidos, se a área da intersecção com os dois sólidos for sempre a mesma, então esses sólidos terão volumes iguais.

O matemático italiano Bonaventura Francesco Cavalieri realizou estudos para o cálculo do volume de sólidos geométricos. Durante seus estudos, ele publicou o método do indivisível, que hoje é conhecido como princípio de Cavalieri.

Por meio da comparação entre sólidos geométricos, o princípio de Cavalieri diz que dois sólidos geométricos que possuem a mesma altura terão o mesmo volume se as figuras planas formadas pelas secções planas paralelas à base, em qualquer altura dos sólidos geométricos, tiverem sempre a mesma área.

Como essa figura pode ter uma base no formato de qualquer polígono, para calcular o volume do prisma, utilizamos a seguinte fórmula:

Observação: A área é calculada de acordo com o formato da base, ou seja, de acordo com o polígono que a forma.

Volume de prismas

Podemos dizer que calcular o volume de um prisma é o mesmo que calcular a quantidade de espaço que ele ocupa.

Para calcular o volume teremos:  V = Ab . h

ou

V = a . b . c, em que a, b e c representam as dimensões do prisma.

Volume de pirâmides

O volume da pirâmide é o espaço ocupado por ela, e sua medida pode ser determinada por cálculos.

Uma pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal com apenas um vértice fora de sua base. Sua altura é determinada pela distância ortogonal (90°) entre o vértice e sua base.

Para calcular o volume da pirâmide utiliza-se a seguinte fórmula:

Exemplos: 

01. Uma fabrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que tem o formato de cubo é igual a:
A) 5 cm                        C) 25 cm                                  E) 6 cm
B) 12 cm                      D) 24 cm

Resolução:

        Volume do Paralelepípedo:

        V = a . b . c 

        V = 18 . 4 . 3

        V = 216 cm³

Medida da Aresta do cubo:

V = a . a . a    ou    V = a³, substituindo V por 216, teremos: 

                             

216 = a³, Logo:  a³ = 216, extraindo a raiz cubica de 216 teremos a = 6 cm.

Portanto, a medida das  arestas dos chocolates que tem o formato de cubo é igual a 6 cm. Letra E.

02. O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

 

 Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, qual o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide?

 Resolução:

 Para calcular o volume de concreto usaremos a formula de volume da pirâmide: V = Ab . h
                          3

Com a base da pirâmide é um quadrado de lado medindo 3 m, teremos:

Ab = l²                                       Logo o como a altura da pirâmide é de 4 m, faremos: 
Ab = 3²                                      V = 9 . 4 = 12 m³
Ab = 9 m²                                          3

Portanto, será necessário 12 m³ de concreto para a construção da base para a bandeira.

Volume do cilindro

Um cilindro é uma forma geométrica tridimensional que possui duas bases circulares paralelas e uma superfície lateral que conecta essas bases. 

ELEMENTOS DO CILINDRO

 Bases: são as regiões circulares, paralelas e congruentes O e O’.

 Eixo do cilindro: reta que passa pelo centro das bases do cilindro (reta OO').

 Raio da base: raio do círculo da base.

 Geratrizes: Os segmentos de reta paralelos ao eixo, cujas extremidades são pontos das circunferências que limitam as bases

  Altura: distância entre as duas bases (h).

Os cilindros podem ser retos, quando as bases estão alinhadas verticalmente, ou inclinados, quando as bases não estão diretamente uma acima da outra.

O cilindro é uma figura comum em várias aplicações, como na engenharia, na arquitetura e na vida cotidiana.

O volume de um cilindro pode ser calculado pela fórmula: 

Volume do Cone

Um cone é uma forma geométrica tridimensional que possui uma base circular e uma superfície lateral que se afunila até um ponto chamado vértice ou ápice.

ELEMENTOS DO CONE

Base: é o círculo.

Raio da base (r): é a distância entre o centro da base e a circunferência que delimita a base.

Vértice: é o ponto V externo ao plano a.

Geratriz (g): é qualquer segmento com extremo no vértice do cone e na circunferência que delimita a base.

Altura: é à distância (h) do vértice ao ponto C.

Os cones podem ser retos, quando a altura é perpendicular à base, ou inclinados, quando a altura não é perpendicular.

Cones são encontrados em muitas situações do dia a dia, como em chapéus de festa, cones de trânsito e sorvetes.

O volume de um cone pode ser calculado pela fórmula:

Volume da Esfera

Uma esfera é uma forma geométrica tridimensional definida como o conjunto de todos os pontos no espaço que estão a uma distância fixa, chamada de raio, de um ponto central chamado de centro. As principais características de uma esfera incluem:

Centro: O ponto interior da esfera, de onde todos os pontos da superfície estão a uma distância igual.

Raio: A distância do centro até qualquer ponto na superfície da esfera.

Diâmetro: A distância máxima entre dois pontos na superfície da esfera, que é o dobro do raio.

As esferas são simétricas em todas as direções e são comuns em diversos contextos, como em bolas, planetas e gotas de água.

O volume de uma esfera pode ser calculado pela fórmula:

Exemplos:

01. Uma empresa possui um tanque cilíndrico com 5 m de altura e 2 m de raio. Eles querem saber quantos litros de água o tanque pode armazenar.

Sabendo que 1 m³ equivale a 1000 litros, quantos litros a empresa pode armazenar?(Considere π = 3,14).

Resolução:
Volume do Cilindro:  V = Ab . h           ou          V = π . r² . h. Logo teremos: 

r = 2 m            V = 3,14 . 2² . 5
h = 5 m            V = 3,14 . 4 . 5 = 62,8 m³

Portanto, como 1m³ = 1000 litros, teremos: 62,8 x 1000 = 62 800 litros, ou seja, poderíamos armazenar 62 800 litros de água no tanque.

02. Um copo de sorvete tem a forma de um cone com 10 cm de altura e um raio de 4 cm na base. Quantos mililitros de sorvete ele pode conter?

(Considere π = 3,14 e Lembre-se de que 1 cm³ = 1 ml).

 Resolução: 

 Volume do Cone: V = Ab . h            ou      V = π . r² . h.   Logo teremos:

                                       3                                     3

 r = 4 cm                             V = 3,14 . 4² . 10

                                                         3

 h = 10 cm                             V = 3,14 . 16 . 10  🠒    V = 167,47 cm³

                                                              3

Portanto, como 1 cm³ = 1 ml, teremos que 167,47 cm³ = 147,47 ml, ou seja, o copo de sorvete tem a capacidade de 147,47 ml aproximadamente.

03. Nos rolamentos de automóveis, são utilizados algumas pequenas esferas de aço, para facilitar o movimento e minimizar desgastas, conforme representada a figura abaixo.

Considerando que cada uma destas esferas de aço tem o diâmetro de 46 mm e adotando para π = 3,14 determine o volume ocado por cada uma destas esferas de aço no rolamento.

Resolução:

Volume da esfera:                         V = 4 .π .R³,             Logo teremos:

                                                                 3

Diâmetro da esfera: 46 mm

Raio da esfera: R = 23 mm.       V = 4 . 3,14 . 23³       🠒         V = 50 939,17 mm³

                                                                 3

Portanto, o volume ocupado por cada esfera de aço no rolamento e de aproximadamente    50 939,17 mm³, que convertendo para cm³ seria o equivalente a 50,93917 cm³.

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