Material - AULÃO DO ENEM - matemática - 2025

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✋ BAIXAR APOSTILA AQUI 👉: LISTA DE EXERCÍCIOS 01 - VOLUME DE SÓLIDOS GEOMETRICOS

 Cálculo de Volume dos Sólidos Geométricos

O Princípio de Cavalieri e o cálculo de volume

O princípio de Cavalieri foi desenvolvido para facilitar o cálculo do volume de sólidos geométricos. Existem alguns sólidos que possuem formas que dificultam o cálculo de seus volumes. Para facilitar essa tarefa, Cavalieri recorreu à comparação de volumes entre sólidos conhecidos. O princípio desenvolvido por esse estudioso diz que, se existem dois sólidos geométricos de mesma altura, ao cortá-los com um plano paralelo à base, em qualquer altura dos sólidos, se a área da intersecção com os dois sólidos for sempre a mesma, então esses sólidos terão volumes iguais.

O matemático italiano Bonaventura Francesco Cavalieri realizou estudos para o cálculo do volume de sólidos geométricos. Durante seus estudos, ele publicou o método do indivisível, que hoje é conhecido como princípio de Cavalieri.

Por meio da comparação entre sólidos geométricos, o princípio de Cavalieri diz que dois sólidos geométricos que possuem a mesma altura terão o mesmo volume se as figuras planas formadas pelas secções planas paralelas à base, em qualquer altura dos sólidos geométricos, tiverem sempre a mesma área.

Como essa figura pode ter uma base no formato de qualquer polígono, para calcular o volume do prisma, utilizamos a seguinte fórmula:

Observação: A área é calculada de acordo com o formato da base, ou seja, de acordo com o polígono que a forma.

Volume de prismas

Podemos dizer que calcular o volume de um prisma é o mesmo que calcular a quantidade de espaço que ele ocupa.

Para calcular o volume teremos:  V = Ab . h

ou

V = a . b . c, em que a, b e c representam as dimensões do prisma.

Volume de pirâmides

O volume da pirâmide é o espaço ocupado por ela, e sua medida pode ser determinada por cálculos.

Uma pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal com apenas um vértice fora de sua base. Sua altura é determinada pela distância ortogonal (90°) entre o vértice e sua base.

Para calcular o volume da pirâmide utiliza-se a seguinte fórmula:

Exemplos: 

01. Uma fabrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que tem o formato de cubo é igual a:
A) 5 cm                        C) 25 cm                                  E) 6 cm
B) 12 cm                      D) 24 cm

Resolução:

        Volume do Paralelepípedo:

        V = a . b . c 

        V = 18 . 4 . 3

        V = 216 cm³

Medida da Aresta do cubo:

V = a . a . a    ou    V = a³, substituindo V por 216, teremos: 

                             

216 = a³, Logo:  a³ = 216, extraindo a raiz cubica de 216 teremos a = 6 cm.

Portanto, a medida das  arestas dos chocolates que tem o formato de cubo é igual a 6 cm. Letra E.

02. O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

 

 Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, qual o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide?

 Resolução:

 Para calcular o volume de concreto usaremos a formula de volume da pirâmide: V = Ab . h
                          3

Com a base da pirâmide é um quadrado de lado medindo 3 m, teremos:

Ab = l²                                       Logo o como a altura da pirâmide é de 4 m, faremos: 
Ab = 3²                                      V = 9 . 4 = 12 m³
Ab = 9 m²                                          3

Portanto, será necessário 12 m³ de concreto para a construção da base para a bandeira.

Volume do cilindro

Um cilindro é uma forma geométrica tridimensional que possui duas bases circulares paralelas e uma superfície lateral que conecta essas bases. 

ELEMENTOS DO CILINDRO

 Bases: são as regiões circulares, paralelas e congruentes O e O’.

 Eixo do cilindro: reta que passa pelo centro das bases do cilindro (reta OO').

 Raio da base: raio do círculo da base.

 Geratrizes: Os segmentos de reta paralelos ao eixo, cujas extremidades são pontos das circunferências que limitam as bases

  Altura: distância entre as duas bases (h).

Os cilindros podem ser retos, quando as bases estão alinhadas verticalmente, ou inclinados, quando as bases não estão diretamente uma acima da outra.

O cilindro é uma figura comum em várias aplicações, como na engenharia, na arquitetura e na vida cotidiana.

O volume de um cilindro pode ser calculado pela fórmula: 

Volume do Cone

Um cone é uma forma geométrica tridimensional que possui uma base circular e uma superfície lateral que se afunila até um ponto chamado vértice ou ápice.

ELEMENTOS DO CONE

Base: é o círculo.

Raio da base (r): é a distância entre o centro da base e a circunferência que delimita a base.

Vértice: é o ponto V externo ao plano a.

Geratriz (g): é qualquer segmento com extremo no vértice do cone e na circunferência que delimita a base.

Altura: é à distância (h) do vértice ao ponto C.

Os cones podem ser retos, quando a altura é perpendicular à base, ou inclinados, quando a altura não é perpendicular.

Cones são encontrados em muitas situações do dia a dia, como em chapéus de festa, cones de trânsito e sorvetes.

O volume de um cone pode ser calculado pela fórmula:

Volume da Esfera

Uma esfera é uma forma geométrica tridimensional definida como o conjunto de todos os pontos no espaço que estão a uma distância fixa, chamada de raio, de um ponto central chamado de centro. As principais características de uma esfera incluem:

Centro: O ponto interior da esfera, de onde todos os pontos da superfície estão a uma distância igual.

Raio: A distância do centro até qualquer ponto na superfície da esfera.

Diâmetro: A distância máxima entre dois pontos na superfície da esfera, que é o dobro do raio.

As esferas são simétricas em todas as direções e são comuns em diversos contextos, como em bolas, planetas e gotas de água.

O volume de uma esfera pode ser calculado pela fórmula:

Exemplos:

01. Uma empresa possui um tanque cilíndrico com 5 m de altura e 2 m de raio. Eles querem saber quantos litros de água o tanque pode armazenar.

Sabendo que 1 m³ equivale a 1000 litros, quantos litros a empresa pode armazenar?(Considere π = 3,14).

Resolução:
Volume do Cilindro:  V = Ab . h           ou          V = π . r² . h. Logo teremos: 

r = 2 m            V = 3,14 . 2² . 5
h = 5 m            V = 3,14 . 4 . 5 = 62,8 m³

Portanto, como 1m³ = 1000 litros, teremos: 62,8 x 1000 = 62 800 litros, ou seja, poderíamos armazenar 62 800 litros de água no tanque.

02. Um copo de sorvete tem a forma de um cone com 10 cm de altura e um raio de 4 cm na base. Quantos mililitros de sorvete ele pode conter?

(Considere π = 3,14 e Lembre-se de que 1 cm³ = 1 ml).

 Resolução: 

 Volume do Cone: V = Ab . h            ou      V = π . r² . h.   Logo teremos:

                                       3                                     3

 r = 4 cm                             V = 3,14 . 4² . 10

                                                         3

 h = 10 cm                             V = 3,14 . 16 . 10  🠒    V = 167,47 cm³

                                                              3

Portanto, como 1 cm³ = 1 ml, teremos que 167,47 cm³ = 147,47 ml, ou seja, o copo de sorvete tem a capacidade de 147,47 ml aproximadamente.

03. Nos rolamentos de automóveis, são utilizados algumas pequenas esferas de aço, para facilitar o movimento e minimizar desgastas, conforme representada a figura abaixo.

Considerando que cada uma destas esferas de aço tem o diâmetro de 46 mm e adotando para π = 3,14 determine o volume ocado por cada uma destas esferas de aço no rolamento.

Resolução:

Volume da esfera:                         V = 4 .π .R³,             Logo teremos:

                                                                 3

Diâmetro da esfera: 46 mm

Raio da esfera: R = 23 mm.       V = 4 . 3,14 . 23³       🠒         V = 50 939,17 mm³

                                                                 3

Portanto, o volume ocupado por cada esfera de aço no rolamento e de aproximadamente    50 939,17 mm³, que convertendo para cm³ seria o equivalente a 50,93917 cm³.

👉 APOSTILA: LISTA DE EXERCÍCIOS 01 - VOLUME DE SÓLIDOS GEOMETRICOS

 AMA - DESCRITORES AVALIADOS NO 2º ANO/3º TRIMESTRE + EXERCÍCIOS DE REVISÃO

• D087M - Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.
• D071M - Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
• D133M - Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo de uma função do 2º grau.
• D111M - Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.
• D125M - Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.
• D057M - Utilizar o perímetro de uma figura bidimensional na resolução de problema.
• D058M - Utilizar área de figuras bidimensionais na resolução de problema.

👉 APOSTILA EM PDF - REVISÃO DOS DESCRITORES DO AMA - 2º ANO - 3º TRIMESTRE 2024

 REVISANDO ÁREA E PERÍMETRO DE POLÍGONOS

1 - Unidades de MEDIDA não convencionais e convencionais

Em alguns países, essas unidades ainda são utilizadas, no entanto, há uma relação com as unidades padronizadas. Por exemplo:

• 1 polegada equivale a 2,54 cm
• 1 jarda equivale a 0,9144 cm

O sistema métrico é um sistema de medição internacionalizado, baseado em grandezas que tem a base 10, ou seja, para que possamos realizar conversões entre as unidades de medida, devemos multiplicar/dividir por potências de base 10, tais como, 10, 100 (10²), 1000, (10³), e assim por diante.

Ao medirmos grandezas de comprimento, temos como unidade padrão, o metro.

Exercícios resolvidos

01.  Faça a transformação de unidades de Medidas:

a) 3 km em m                                                  d) 28 mm em cm

 

3 x 10 x 10 x 10 = 3000 m                               28 ÷ 10 = 2,8 cm

ou 3 x 1000 = 3000 m

b) 0,0680 km para m                                        e) 50 cm em m

 

0,0680 x 1000 = 68,0 m                                       50 ÷ 100 = 0,50 m   

 

c) 56 m em cm                                                  f) 4,5 dm em cm

56 x 100 = 5600 cm                                          4,5 x 10 =  45 cm                                     

 

02.    Calcule e dê a resposta em cm.

 

0,0680 km + 0,04 hm + 2,8 dam + 6 m + 2 dm =

Resolução: Vamos transformar todas as medidas para a mesma unidade, ou seja, centímetros.

0,0680 km para cm: 0,0680 x 100.000 = 6.800 cm

0,04 hm para cm: 0,04 x 10.000 = 400 cm

2,8 dam para cm: 2,8 x 1.000 = 2.800 cm

6 m para cm: 6 x 100 = 600 cm

2 dm para cm: 2 x 10 = 20 cm

Somando os valores obtidos tempos:

6.800 + 400 + 2.800 + 600 + 20 = 10.620 cm

 

2 - Perímetro de polígonos

Perímetro é uma medida observada em figuras geométricas planas, isto é, figuras bidimensionais. Ele é definido como a medida do contorno de uma figura geométrica, logo, é uma medida de comprimento.

Perímetro à  P = S + S + S + S

Exemplo:

01.  Veja a seguir a planta do terreno de um clube.

O dono do clube pretende certar todo este terreno construindo um mudo de 3 metros de altura, deixando uma entrada única de 4 metros no qual irá colocar um portão de madeira. Responda:

a) Qual é o perímetro do terreno?

 

P = 180 + 90 + 50 + 190 + 60 + 40 = 610 m 

b) Quantos metros de muro será construído neste terreno?

Muro: M = 610 - 4 = 606 metros

3 - Perímetro da circunferência

Conforme a definição apresentada, o perímetro é a medida do contorno da figura.

Considere a circunferência:

O comprimento da circunferência é determinado por:

                                          C = 2πr

 em que r é raio e π é uma constante, com valor aproximado de 3,14.

 Assim, o contorno (perímetro) da circunferência é definido pela medida do comprimento da circunferência.

Indicação de Vídeo - Link: https://www.youtube.com/watch?v=Y_cvGh7mDC0

 

Exemplo

01.  Para realizar o teste físico em determinado concurso militar, os candidatos devem correr ao redor de uma praça circular cujo diâmetro mede 110m. Quantos metros percorre, aproximadamente, um candidato que dá 15 voltas ao redor dessa praça?

Resolução:

Diâmetro: d = 110 m 

Raio: r = d/2       r = 110/2 = 55 m

C = 2πr                C = 2 . 3,14 x 55 = 345,4 m

Dando 15 voltas ao redor, o candidato percorre 5.181m ou 5,181km.

4 – ÁREA

Área refere-se à medida da superfície de uma região/figura geométrica. Cada forma geométrica tem uma fórmula para cálculo de área.

Exemplos:

01. Na casa de Marcelo, há um quintal no formato quadrado com lados medindo 6 metros. Nesse quintal será colocado um tablado de formato também quadrado, com 2 metros de lado. O restante do quintal será todo cimentado. Qual a área que será cimentada nesse terreno?  

Resolução:

Área do quintal: A = l²     A = 6² = 6 x 6 = 36 m²

Área do Tablado (T): A = l²     A = 2² = 2 x 2 = 4 m²

A parte do quintal que será cimentado é determinado pela diferença entre a medida total do terreno com o tablado, logo área cimentada é 36 - 4 = 32 m².

02. Um pivô central é usado para a irrigação de um terreno circular de 500m de raio. Quantos litros de água são necessários para irrigar o terreno, espalhando em média 5 litros por metro quadrado? (Adote π = 3). 

Resolução:

Área do Circulo: A = π.r² 

Raio: r = 500 m    

A = 3 x 500²           A = 3 x 250 000 = 750 000 m²

Se para 1 m² são utilizados 5 litros, em 750.000m² serão utilizados 3.750.000 litros de água.

É comum utilizarmos a conversão de 1m³ = 1000 litros. Sendo assim, temos que 3.750.000

corresponde a 3.750 m³.

👉 APOSTILA:  APOSTILA PDF - REVISANDO PERÍMETRO E ÁREA DE POLIGONOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

👉 MATERIAL COMPLEMENTAR: APOSTILA - GEOMETRIA: GRANDEZAS DE MEDIDAS – PERÍMETRO E ÁREAS

 GEOMETRIA ESPACIAL

Em matemática, a geometria espacial é o nome usual para a geometria do espaço tridimensional euclidiano.

1 – POLIGONOS REGULARES

Polígono regular é aquele que possui lados e ângulos congruentes.

 2 – SÓLIDOS GEOMETRICOS

Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais, possuem largura, comprimento e altura, e podem ser classificados entre poliedros e não poliedros.

3 - Poliedros: Prismas e Pirâmides

3.1 - Prismas: é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos.

Elementos dos prismas

Faces: São todos os polígonos que compõem a parte externa do primas, bases e faces laterais.

Bases: São os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’

Faces Laterais: São os paralelogramos ABA’B’, AFA’F’, FEF’E’, DED’E’, DCD’C’, BCB’C’.

Arestas da base: são os lados do polígono da base (AB, BC, CD, DE, EF, AF).

Arestas laterais: São os lados das faces laterais (AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, FF’)

Altura do prisma: É a distância entre as duas bases.

Planificação do Prisma

A planificação é uma forma de representar um objeto tridimensional em apenas duas dimensões. Todas as faces laterais de um prisma é um paralelogramo, sendo que as faces laterais e as bases deste prima formam a envoltória deste sólido. 

3.2 - Pirâmide: é um solido geométrico que possui base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram em um ponto conhecido como vértice.

Elementos da Pirâmide

Vértice: O ponto V é o vértice da pirâmide.

Faces: São todos os polígonos que delimitam a pirâmide, ou seja, faces laterais e a base.

Faces Laterais: São os triângulos formados pelo vértice da pirâmide com o lado da região poligonal (base): ABV, BDV, ACV, CDV.

Base: É a região poligonal formada pelos pontos ABCD.

Arestas da Base: São os lados do polígono da base, ou seja, os segmentos AB, BD, CD e BA.

Arestas Laterais: São os segmentos com extremos no vértice da pirâmide e nos vértices da região poligonal da base, ou seja, AV, BV, CV e DV.

 Altura: É a distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base (h).

Apótema da pirâmide: é a altura de cada face lateral (p).

Apótema da Base da Pirâmide: é o segmento que liga o centro da base ao ponto médio de um dos lados da base da pirâmide de forma perpendicular (m).

Planificação da Pirâmide

Pirâmides possuem uma única base poligonal e suas faces laterais são sempre triangulares.

4 - POLIEDROS DE PLATÃO

5 - Relação de Euler

É possível estabelecermos uma relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A) dos poliedros convexos e alguns não convexos, conhecida como relação de Euler.
                   

Essa é a relação de Euler que, algebricamente, é representada por:

Exemplos:
01. Verifique a relação de Euler, preenchendo a tabela a seguir:

02. Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse

poliedro é:

A) 20.                B) 24.                C) 28.                D) 30.            E) 32.

Resolução: Sabemos que ele é convexo, logo vale a relação de Euler:

V + F = A + 2

12 + 20 = A + 2

32 = A + 2

A = 32 – 2

A = 30

👉 Apostila: APOSTILA PDF - RESUMO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS PROPOSTOS