GEOMETRIA ESPACIAL

Em matemática, a geometria espacial é o nome usual para a geometria do espaço tridimensional euclidiano.

1 – POLIGONOS REGULARES

Polígono regular é aquele que possui lados e ângulos congruentes.

 2 – SÓLIDOS GEOMETRICOS

Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais, possuem largura, comprimento e altura, e podem ser classificados entre poliedros e não poliedros.

3 - Poliedros: Prismas e Pirâmides

3.1 - Prismas: é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos.

Elementos dos prismas

Faces: São todos os polígonos que compõem a parte externa do primas, bases e faces laterais.

Bases: São os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’

Faces Laterais: São os paralelogramos ABA’B’, AFA’F’, FEF’E’, DED’E’, DCD’C’, BCB’C’.

Arestas da base: são os lados do polígono da base (AB, BC, CD, DE, EF, AF).

Arestas laterais: São os lados das faces laterais (AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, FF’)

Altura do prisma: É a distância entre as duas bases.

Planificação do Prisma

A planificação é uma forma de representar um objeto tridimensional em apenas duas dimensões. Todas as faces laterais de um prisma é um paralelogramo, sendo que as faces laterais e as bases deste prima formam a envoltória deste sólido. 

3.2 - Pirâmide: é um solido geométrico que possui base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram em um ponto conhecido como vértice.

Elementos da Pirâmide

Vértice: O ponto V é o vértice da pirâmide.

Faces: São todos os polígonos que delimitam a pirâmide, ou seja, faces laterais e a base.

Faces Laterais: São os triângulos formados pelo vértice da pirâmide com o lado da região poligonal (base): ABV, BDV, ACV, CDV.

Base: É a região poligonal formada pelos pontos ABCD.

Arestas da Base: São os lados do polígono da base, ou seja, os segmentos AB, BD, CD e BA.

Arestas Laterais: São os segmentos com extremos no vértice da pirâmide e nos vértices da região poligonal da base, ou seja, AV, BV, CV e DV.

 Altura: É a distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base (h).

Apótema da pirâmide: é a altura de cada face lateral (p).

Apótema da Base da Pirâmide: é o segmento que liga o centro da base ao ponto médio de um dos lados da base da pirâmide de forma perpendicular (m).

Planificação da Pirâmide

Pirâmides possuem uma única base poligonal e suas faces laterais são sempre triangulares.

4 - POLIEDROS DE PLATÃO

5 - Relação de Euler

É possível estabelecermos uma relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A) dos poliedros convexos e alguns não convexos, conhecida como relação de Euler.
                   

Essa é a relação de Euler que, algebricamente, é representada por:

Exemplos:
01. Verifique a relação de Euler, preenchendo a tabela a seguir:

02. Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse

poliedro é:

A) 20.                B) 24.                C) 28.                D) 30.            E) 32.

Resolução: Sabemos que ele é convexo, logo vale a relação de Euler:

V + F = A + 2

12 + 20 = A + 2

32 = A + 2

A = 32 – 2

A = 30

👉 Apostila: APOSTILA PDF - RESUMO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Investigando Gráficos da Função Quadrática

 Para investigar gráficos de funções do 2º grau y = ax² + bx + c, acesse:

                                    

GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/t7snye9r

Observe que os parâmetros “a”, “b” e “c”, podem ser alterados através dos controles deslizantes e que, conforme alteram esses valores o gráfico também sofre alterações.

Atribui a = 1, b = - 4 e c = 3 , obtenha a função y = x² - 4 x + 3. Como ficou esse gráfico?

1º) Utilizando o controle deslizante, fixe um valor para o “b” e “c”, em b = -4 e c = 3 e altere o valor de “a”, de forma que:

✔  atribua para “a” diferentes valores negativos (a<0) e diferentes valores positivos (a>0) e observe a expressão algébrica de cada função obtida, e o seu respectivo gráfico. Quais as semelhanças e as diferenças entre esses gráficos? Anote suas conclusões,

✔  atribua para “a” o valor zero (a=o) e observe a função obtida, e o seu respectivo gráfico. Quais as semelhanças e as diferenças entre esses gráficos e os gráficos obtidos nos casos anteriores? Anote suas conclusões

2º) Utilizando o controle deslizante, fixe um valor para o “a”, por exemplo a = 1 ou a = –1 e o valor de “c” em c = 3, em seguida altere o valor de “b”, entre valores positivos e valores negativos. Quais as semelhanças e as diferenças entre esses gráficos e os gráficos obtidos nos casos anteriores? Anote suas conclusões

3º) Utilizando o controle deslizante, fixe um valor para o “a”, por exemplo a = 1 ou a = –1 e o valor de “b” em b = - 4 ou b = 4, e em seguida altere o valor de “c”, entre valores positivos e valores negativos. Em cada caso observe a função obtida, o seu respectivo gráfico e o ponto onde esse gráfico cruza o eixo y.

TAREFA: Redija um pequeno texto explicando qual a relação entre o valor de “c” e a ordenada do ponto onde o gráfico da função y = ax² + bx + c, cruza o eixo y; e a relação entre o valor de “a” e a concavidade da parábola.

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👉 Arquivo PDF da Aula: Investigando gráfico da função Quadrática

CADERNOS DE AVALIAÇÃO - SEDU/ES - AV. DIAGNÓSTICA

👉 2021 - MATEMÁTICA - 1º INSTRUMENTO LP E MT - 3º SERIE

👉 2021 - MATEMÁTICA - 2º INSTRUMENTO LP E MT - 3º SERIE

REFERÊNCIAS:

• Avaliação das Aprendizagens das Etapas da Educação Básica. Secretaria da Educação. Subsecretaria de Estado da Educação Básica e Profissional. Subsecretaria de Estado de Planejamento e Avaliação. Espirito Santo, 2021.

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição: A função f: IR → IR dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a 0. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função.

Exemplos:

f(x) = x² - 3x + 4 ó coeficientes: a =1; b = -3 e c = 4.

f(x) = 8x² - 1 ó coeficientes: a = 8; b = 0 e c = -1.

f(x) = -5x² + 2x ó coeficientes: a = -5; b = 2 e c = 0.

Zeros de uma função quadrática

Quando fazemos ax² + bx + c igual à zero, ou seja   y = f(x) = 0, Temos:                    

Exemplo:

f(x) = 0 ó x² - 7x + 6 = 0 ó equação do 2º grau

Δ = b² - 4.a.c ⟹ Δ = 25                    ⇔           x’ = 6                                                                                 x” = 1

 

Obs.:   

Se , então as duas raízes são reais e diferentes: x’ é x”

Se , então as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x’ =  x” = - b/2a

Se , então não há raízes reais.

Soma e produto

Soma das raízes: S = x’ +  x” = - b/a                             Produto das raízes: P = x’. x” = c/a      

Exemplos:

01. Calcule as raízes reais de cada função a seguir:

a) y = x² - 4x – 5                                   c) f(x) = x² - 2x + 6

b) y = x² - 2x + 1                                   d) f(x) = - x² + 4x - 3

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA

Considere a parábola que representa a função dada por y = ax² + bx + c, temos:

Se a >0

Para x = 0, temos y = a.0² + b.0 + c, ou seja y = c, então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo Oy.

Exemplo: Esboce o gráfico da função y = x² - 8x - 9, determinando:

a)     As raízes;

b)    As coordenadas do vértice;

c)     A função tem valor máximo ou valor mínimo e qual é este valor;

d)    Dê o ponto de interseção da curva com o eixo y.

👉 APOSTILA - Arquivo em PDF